Rozwiązując zadania ze stereometrii, czasem de facto z planimetrii, mam cały czas w głowie jedno zadanie. Nie byle jakie. Naprawdę pokazujące czy jest twórczym czy odtwórczym ("grzeczną dziewczynką" jak to mówi jedna z pracowniczek naukowych AGH).
Zadanie to jest podobno pomyślane na trzydzieści minut dla "grzecznych dziewczynek", lub na minutę dla osób twórczych... :
W sześcian o krawędzi długości a. wpisano sferę tak by zawierała ona punkt przecięcia się przekątnych sześcianu oraz była styczna do trzech ścian tego sześcianu. Oblicz promień sfery
Komentarze:
Wygląda łatwo, tylko nie mam pojęcia co to jest sfera. XD
yyy...
połowa połowy przekątnej sześcianu?
1/4 * a * sqrt(3)
? :-)
@Tarnum: sfera, inaczej kula...
@RPM: Hmm... Prawie, brakuje jeszcze czegoś.
Faktycznie, brakuje ;)
O tej porze już nie mam siły myśleć, rano zapytam żony ;)
Pewien nie byłem. :p
ciekawe zadanie :) czy prawidlowym rozwiazaniem jest:
R = [a * sqrt(3)] / [2 * sqrt(3) + 2] ?
zapis troche zamacony moze byc, bo upraszczalem az do najprostszego zapisu nadajacego sie na komputer :)
@Kudi: Prawie... Naprawdę blisko...
Proste choc nie wiem jak to policzyc. Polowa dlugosci przekatnej szescianu minus kawalek od rogu do sfery. Mam racje? Nie wiem jak policzyc ten kawalek ale z matematyka a zwlaszcza geometria to mialem do czynienia jakies 5 lat temu. Wiem wiem, slabe wytlumaczenie ;p
@brodzky: "masz i nie masz". Może i tak można, ale jest łatwiejsza droga...
nie jest to takie latwe wytlumaczenie brodzky, bo jak wezmiesz przekroj wzdluz przekatnej podstawy, to przekroj sfery styka sie tylko z ta polowa przekatnej szescianu i z gorna krawedzia, a z ta boczna juz nie :>
a mi na upartego wciaz wychodzi ten sam wynik ktory podalem. najwyrazniej mam blad w zalozeniach. moze je przesledze tutaj, ok?
skoro sfera jest styczna do trzech scian (czyli do sasiednich sila rzeczy) to z tego wynika, ze srodek tej sfery lezy na przekatnej szescianu (bo jest rownoodlegla od kazdej sciany). ta polowe przekatnej szescianu sobie oznacze jako X. rysuje sobie nastepnie przekatna boku wychodzaca z tego samego wierzcholka co przekatna szescianu. i teraz srodek przekatnej tego boku i srodek przekatnej szescianu lacze odcinkiem, ktory ma dlugosc rowna dlugosci polowy krawedzi - oznacze to jako Y. czyli mamy taki trojkat prostokatny o przyprostokatnych Y i polowa przekatnej sciany, a przeciwprostokatnej rownej X. teraz na tym X sobie zaznaczam srodek tej sfery tak, ze odleglosc srodka sfery od srodka szescianu jest rowna odleglosci srodka tej sfery od punktu bedacego jego rzutem prostopadlym na sciane i ten punkt bedzie lezec na przekatnej sciany (majngott, ale to skomplikowanie brzmi, a rysowanie tego jest takie latwe... tak wiec ten odcinek i Y sa rownolegle) i te odcinki to nic innego jak promien tej sfery (R), tak? wiec teraz klasyczny tales i:
Y / X = R / (X - R) => R = XY / (X + Y)
i jestem przekonany, ze to jest dobrze :> bo juz mi tutaj, esdoka, depczesz ambicje :)
aha, oczywiscie teraz doszedlem do tego samego rozwiazania bez babrania sie w te rysowanie.
w cos na zasadzie: sqrt{[R * sqrt(2)]^2 + R^2} + R = a * sqrt(3) / 2
dosyc, ja mam inne rzeczy do zrobienia.
Hmm.. jest godzina 6:00 - nie będę się teraz zagłębiał w Twoją wypowiedź Kudi. W kazdym razie zachodzi coś takiego:
r*sqrt(3)+r=0.5*a*sqrt(3). Chyba jakoś tak. Z tego wyliczamy sobie r'a.. i jest nasza niewiadoma.. ;)
Akurat sfera to nie kula, jakby to była kula to odpowiedzią byłby przedział, a nie jedna liczba :P
heh, no to moja pierwsza odpowiedz dobra byla :) tylko te 0,5 przenioslem do mianownika.
Dodaj komentarz: